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费马知道,光沿着这条路径传播所需的时间,要比其他的路径所需的时间都更短。用于研究变分的问题。
莫佩尔蒂认为,一切物体运动的作用量都是按最小来,原因是宇宙的运转是很经济化的。他发现了公式A=mvs。用于动量和折射方面的理论。
欧拉独立于莫佩尔蒂发现了这个公式,但是欧拉提出的是对mv求s的积分这种形式。
欧拉又将这结果推广至一群粒子。他认为最小作用原理所以正确,是因为粒子的惯性试着阻抗任何关于状态的改变,自由粒子会选择遵循影响最小的作用力。
拉格朗日作用量,就是动能减去势能,方程对应L=T-V。代表的正是此刻即将能够发生运动的能量。
力学运用到变分原理,成为力学变分原理,虚功是其微分形式,哈密顿原理是积分形式。
哈密顿根据拉格朗日作用量提出了哈密顿原理。
哈密顿知道,一群粒子的运动状态没办法一个个的精确表示,只能是笼统的只用一个系统的作用量来表示这一群粒子总的作用量。
在N+1维空间(q1,q2,…,qN;t)中,任两点之间连线上动势L(q,t)(见拉格朗日方程)的时间积分以真实运动路线上的值为驻值。
为什么水喜欢往低处流,为什么一根两端悬挂起来的线会自然弯成一道优美的弧线,为什么太空中的星体和水滴都不约而同地选择球体这个形状。这些有趣的现象背后,就是最小作用量原理。
这个原理用最通俗的话说就是,大自然是一个精明的经济学家,它总会选择最省力,成本最低的方法来构建这个世界。此时,如果你掌握数学中的变分法,那么你就可以从最小作用量原理推导出牛顿第二定律。
近代物理中,最小作用量原理依然闪烁着光芒。广义相对论告诉我们,在弯曲时空中,光依然会选择最便捷的道路,而绝对不会去选择一条最艰难的道路。而最小作用量原理也启发了费曼,他提出了路径积分量子化的思想,把量子场论的研究向前推进了一大步。
有了最小作用量原理,我们还会得到更本质的东西——对称性。
什么是对称?对称就是不变的东西!也就是说,经过一系列操作之后,不变的物理量,就是这种操作下的不变量,那么这种物理量就具有了某种对称性。
空间平移不变,对应的就是动量守恒,而时间平移不变,则对应着能量守恒。
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