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常常有人说柯西是个奇葩,是一个不正常的怪人,甚至有人认为他是神经质的。
常给人一种膈应的感觉。
柯西也常常思索,自己的不正常是不是伤害了很多的人,是不是会坏掉自己的大事?
但是搞科学的人,又有几个是真正的正常人,他们都从事的是以数学和物理为主的事业,不会太喜欢跟人打交道的,所以有几分不正常也是正常的。
法国需要懂数学的人,那就是需要的是奇葩,如果不是个奇葩,就是个世俗功利的人,那种人有什么用途?难道法国的未来仅仅是要更多的世俗功力的人吗?什么创造力都没有,就领一点点薪水了此一生。这种人活着的意义是什么?
柯西陷入深思,很多函数的相加直接导致了函数性质的变化。
柯西开始寻找一种加过之后没有改变性质的函数。
这就是加性函数,可以表示为f(x+y)=f(x)+f(y)。
柯西知道,一般在正比例函数f(x)=cx情况下会满足这一点。
柯西在1821年证明f是连续的函数,后来在1875年被达布将条件减弱为f在某点连续。
存在a,b∈R,(a
f单调,或f在某开区间单调。
存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0,或者存在ε2>0,使得x∈[0,ε2],有f(x)≤0
如果没有其他条件的话,假如承认选择公理成立,那么有无穷非f(x)=cx的函数满足该条件,这是1905年哈默(GeorgHamel)利用哈默基的概念证明的。
后来哈默尔和勒贝格知道还有其他类型的方程也满足加性函数条件。
希尔伯特第五问题是该方程的推广
存在实数c使得f(cx)≠cf(x)解称为柯西-哈默方程(Cauchy-Hamelfunction),希尔伯特第三问题中,从3-D向高维度的推广所用的德恩-哈德维格不变量(Dehn-Hadwigerinvariant(s)),其中就用到柯西-哈默方程。
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