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拉普拉斯对柯西说:“我看到你在研究不等式,说实话,这不都是小儿科的问题吗?干嘛要花如此大的力气去搞?给你经费,你就要开始在这么简单的问题上浪费时间了?现在很多领导都在盯着你,你可注意一点。”
柯西明白,有时候自己承担的事情越多,就越容易被人骂。现在有很多地方存在这种现象:就是能力强,做事快的人,往往做得多、错得多,也被领导骂得多。相反,那些混日子,能力又不怎么样的人,他们基本不做事,又不会被领导骂,最后提拔晋升还可能会成为黑马。这种效应叫做“洗碗效应”,说的就是说经常洗碗的人常会失手将碗打破,自责之余,周围的人可能还严厉指责:“怎么这么不小心,洗碗都洗不好,还能干好什么活呢?”。
柯西经过这么久,也放平了,他知道自己研究的这个看似简单的东西,实则是为了更深的东西打基础。柯西说:“并不是逃避难题研究简单题。而是遇上难题中的某一部分。”
拉普拉斯说:“就像不等式,这就是个计算公式,你哪里看出有还很多惊人的东西?”
拉普拉斯说的是柯西不等式。是柯西发现在数学分析中的流数中发现了一种不等式:(a^2+b^2)(c^2+d^2)
柯西说:“我好好跟你说说,这不仅仅是个不等式,它其实在数学的多个领域都有极大的作用。”
拉普拉斯说:“它能让你发现更多个不等式?”
柯西说:“不是的,是这个不等式可以反应出很多问题。可以推广成更多的卡尔松不等式。还可以推广成向量形式,三角形式,概率论形式,积分形式,一般形式。后来则推广成复变函数。所以一个简单的不等式,也会有很多数学的其他作用,甚至会远远超出自己的想象。”
拉普拉斯也渐渐的理解了柯西的海量论文的原因。
柯西-施瓦茨不等式是一个在众多背景下都有应用的不等式,例如线性代数,数学分析,概率论,向量代数以及其他许多领域。它被认为是数学中最重要的不等式之一。此不等式最初于1821年被柯西提出,其积分形式在1859被布尼亚克夫斯基提出,而积分形式的现代证明则由施瓦兹于1888年给出。
不等式的内容也十分博大。除了柯西不等式以外,还有其他不等式。
有琴生不等式,它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。
有均值不等式,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。
有绝对值不等式,在不等式应用中,经常涉及质量、面积、体积等,也涉及某些数学对象(如实数、向量)的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。
权方和不等式是一个数学中重要的不等式。其证明需要用到赫尔德(Holder)不等式,可用于放缩求最值(极值)、证明不等式等。
闵可夫斯基不等式和赫尔德不等式都涉及到了Lp空间。
有伯努利不等式。
有排序不等式。设有两组数a1,a2,……an和b1,b2,……bn,满足a1≤a2≤……≤an,b1≤b2≤……≤bn,c1,c2,……cn是b1,b2,……bn的乱序排列,则有a1bn+a2bn-1+……+anb1≤a1c1+a2c2+……+ancn≤a1b1+a2b2+……+anbn,当且仅当a1=a2=……=an或b1=b2=……=bn时等号成立。一般为了便于记忆,常记为:反序和≤乱序和≤顺序和.
不等式成为了不确定数学中的一个重要研究内容,往往在很多代数化问题不容易解决的情况下,都会动用不等式产生奇效。
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