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第99章提前获得教授职称（第3页）

但他的课堂又不能完全脱离实际。

所以楚皓最终在高数课本中选取了一些比较经典又比较难懂的问题作为今天的上课内容。

已知函数f（x）=ax+bx+c（a＞0）的图像在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1.

（1）用a表示b，c;

（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围。

将题目板书出来，楚皓看着台下的学生说道：

“第一问送分题，大家应该没有任何难度吧？”

接着众人的脑袋都犹如小鸡啄米一般点了起来。

显然第一题大家都会，那么难住众人人的自然便是第二问了。

解：（1）f’（x）=a-bx^2，

∵f’（1）=a-b=1，∴b=a-1.

又f（1）=a+b+c=2a+c-1，

将（1，2a+c-1）代入y=x-1得，2a+c-1=0，

∴c=1-2a.

由（1）得f（x）=ax+（a-1）x-2a+1（a＞0），

当ax+（a-1）x-2a+1-lnx≥0时，成立.

不等式可转化为：a（x-1）^2≥xlnx-x+1.

当x=1时，不等式成立（左右两边相等），从而结论成立；

当……

记h（x）=（xlnx-x+1）（x-1）2，则

则h’（x）=）=（2（x-1）-（x+1）lnx）（x-1）^3。

“同学们这里运用了商的求导公式，需要仔细化简，大家注意听。”

∵lnx≥2（x-1）（x+1），（x≥1）

“大家看好，这是这道题最关键的一步，这是一个关于lnx的不等式，这个不等式并不太常用，一定要好好掌握起来。”

∴h’（x）≤0。

【将lnx缩放成2（x-1）（x+1），分子的减数变小，分式变大，分式化简之后等于0】

即h（x）在[1，+∞）上单调减.

“因为h（1）不存在，所以h（x）在[1，+∞）的最大值在无限接近x=1的地方，因此要用极限求这个最大值。”

“大家，都听明白了吗？”

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