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什么是四维空间?
众所周知,一个方向就是一个维度,三个互相垂直的方向,构成了我们所处的三维空间。
那么简单来说,四个互相垂直的方向,就能构成四维空间。
这第四个方向,就代表着时间。
只是作为三维空间内的生物,我们无法对更高的维度产生直观感受,也很难想象在XYZ坐标系的哪里,能插上第四个垂直方向。
所以,要想描述四维空间长成什么样子,大概只能用光怪陆离来形容。
不过想要理解四维物体通过三维空间是什么景象,还是有办法的。
阐述这个过程必须先向下兼容,才能从经验中借鉴一二。
先思考一个问题。
假如一个平面上生活着一群二维生物,当身处三维空间的我们伸出手指碾压平面时,那么它们能否看到我们三维的手指?
答案是否定的。
实际上生活在平面上的它们,只能看到一个点或一条线。
只有绕着手指转一圈,它们才能理解手指和平面相交的截面、即一个二维的图形,拥有着类似于椭圆的形状。
也就是说,当一个三维物体通过二维平面时,不管它的立体真实形状有多么复杂,二维生物看到的、或是说能理解的,只是其与该二维平面交错部分的一个横截面,相当于一个投影。
同样的逻辑运用在四维物体通过三维空间时,我们看到的仍然是一个三维物体。
为了更好地理解,可以用形状最简单的球体来举个例子。
因为没人知道、也无法验证四维球长什么样,所以这一概念只能在数学上定义。
当我们在平面XY坐标轴上画一个圆形,那么圆上某一点的横纵坐标,和圆的半径,可以构成一个三角形。
再根据勾股定理可得:R2=x2+y2
当移动这个圆形时,x和y的值会有增减。
而到了三维坐标系里,多了一个方向方向,Z。
勾股定理同样成立,球面任何一点的坐标平方和,等于球半径的平方,这就是球体的定义公式。
即,R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2
符合该公式的形状就一定是个球体。
接下来就轮到四维坐标系了,假设多出来的那个垂直放方向叫W。
那么四维球体的定义方程,无非就是多了一个w减w0的平方。
R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2+(w-w0)2
鉴于我们只能看到三维里的内容,所以w=0。
带入公式整理过后,就得到了:R2-w02=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2
这时我们发现,公式右边,刚好就是三维球体的定义。
这也就刚好解释了四维球通过三维时,我们看到的仍会是一个标准的三维球体。
具体画面的话,就需要想象一下了。
当一个四维球通过我们的三维空间时,我们大概率会率先看到一个小球凭空出现。
这其实是四维球的顶点,相当于我们按压二维平面时,刚接触平面形成的一个小点。
接下来四维球继续通过,凭空出现的小球慢慢变大,直到达到四维球体最大直径。
然后它就开始缩小,最终通过,慢慢离开了我们的世界。
是不是感觉这玩意就跟金箍棒似的,说大就大说小就小?
其实多维空间原本只是一个数学概念、未必真实。
它体现了数学最迷人的一面,那就是作为一种工具,数学可以帮助我们摆脱想象力的限制,教我们尝试理解那些超出传统概念的存在。
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